Exercice 30

1. Pour $\mathcal{C}$, la relation $a(1, 1, 1) + b(1, 1, 0) + c(1, 0, 0) = (x, y, z)$ donne $a = z$, $b = y - z$, $c = x - y$ : tout vecteur a des coordonnées uniques, donc $\mathcal{C}$ est une base. Pour $\mathcal{B}$, on résout de même $\alpha b_{1} + \beta b_{2} + \gamma b_{3} + \delta b_{4} = (x, y, z, t)$ : la deuxième coordonnée donne $\gamma = y$, la troisième $\beta = z - y$, la quatrième $\delta = t - z$, puis la première $\alpha = x - y - t + z$. La solution est unique : $\mathcal{B}$ est une base de $\mathbb{R}^{4}$.

2. Avec $u = (1, -2, 5, 6)$, on obtient $\gamma = -2$, $\beta = 7$, $\delta = 1$ et $\alpha = 1 + 2 - 6 + 5 = 2$. Avec la matrice de passage $P$ de la base canonique à $\mathcal{B}$, la proposition 13 donne le même résultat sous la forme $X' = P^{-1}X$, où $$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

3. La matrice de $f$ dans les bases canoniques se lit sur les coefficients de la définition. Pour obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f)$, on calcule les images $f(b_{j})$ et on les décompose dans $\mathcal{C}$ grâce aux formules de la question 1 : par exemple $f(b_{1}) = (1, 1, -1)$ a pour coordonnées $(-1, 2, 0)$. $$\boxed{\mathrm{Mat}(f) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -4 \\ 2 & 8 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ On contrôle ce résultat par la formule $Q^{-1}\mathrm{Mat}(f)P$ du théorème 4, où $Q$ est la matrice de passage de la base canonique à $\mathcal{C}$.