Exercice 9

1. Les relations s'écrivent $X_{n + 1} = AX_{n}$ avec la matrice ci-dessous, et une récurrence immédiate donne $X_{n} = A^{n}X_{0}$. $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad X_{n} = A^{n}X_{0}}$$

2. On a $N = E_{12} + E_{23}$, $N^{2} = E_{13}$ par la proposition 4, et $N^{k} = 0$ pour $k \geqslant 3$. Comme $3I_{3}$ commute avec $N$, la formule du binôme s'applique (chapitre 3) et ne garde que trois termes : pour $n \geqslant 2$, $$\boxed{A^{n} = 3^{n}I_{3} + n3^{n - 1}N + \binom{n}{2}3^{n - 2}N^{2} = \begin{pmatrix} 3^{n} & n3^{n - 1} & \binom{n}{2}3^{n - 2} \\ 0 & 3^{n} & n3^{n - 1} \\ 0 & 0 & 3^{n} \end{pmatrix}}$$ et cette formule reste vraie pour $n = 0$ et $n = 1$, le coefficient binomial étant alors nul.

3. Avec $X_{0} = (1, 2, 7)$, $$\boxed{a_{n} = 3^{n} + 2n3^{n - 1} + \frac{7n(n - 1)}{2}3^{n - 2}, \qquad b_{n} = 2 \cdot 3^{n} + 7n3^{n - 1}, \qquad c_{n} = 7 \cdot 3^{n}}$$ Par exemple, $a_{5} = 243 + 810 + 1890 = 2943$, ce que confirme le calcul direct des itérés.