Exercice 8

Première matrice. On trouve $$A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2A \qquad \text{et} \qquad A^{3} = 2A^{2} = 4A.$$ On conjecture $A^{n} = 2^{n - 1}A$ ; c'est vrai pour $n = 1$, et si $A^{n} = 2^{n - 1}A$, alors $A^{n + 1} = 2^{n - 1}A^{2} = 2^{n}A$.

Seconde matrice. On trouve $A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et $A^{3} = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$. On conjecture $A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & 2^{n} - 1 \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}$ ; si c'est vrai au rang $n$, alors $$A^{n + 1} = \begin{pmatrix} 1 & 2^{n} - 1 \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 + 2(2^{n} - 1) \\ 0 & 2^{n + 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2^{n + 1} - 1 \\ 0 & 2^{n + 1} \end{pmatrix}.$$