Exercice 7

1. Par la proposition 5, ${(AB)}^{T} = {B}^{T}{A}^{T} = BA$. Donc $AB$ est symétrique si et seulement si $AB = BA$.

2. On a ${(A^{2})}^{T} = ({A}^{T})^{2} = (-A)^{2} = A^{2}$. Le coefficient diagonal $a_{ii}$ vérifie $a_{ii} = -a_{ii}$, donc $2a_{ii} = 0$ et $a_{ii} = 0$.

3. Pour tout $X$, le réel ${X}^{T}AX$ est une matrice $1 \times 1$, égale à sa transposée ${X}^{T}{A}^{T}X$. Si $A$ est antisymétrique, il est donc égal à son opposé, donc nul. Réciproquement, supposons ${X}^{T}AX = 0$ pour tout $X$. Avec $X = e_{i}$, on obtient $a_{ii} = 0$ ; avec $X = e_{i} + e_{j}$, on obtient $a_{ii} + a_{ij} + a_{ji} + a_{jj} = 0$, soit $a_{ij} = -a_{ji}$. $$\boxed{\big(\forall X \in \mathbb{R}^{n}, \ {X}^{T}AX = 0\big) \iff {A}^{T} = -A}$$ À retenir. La forme $X \mapsto {X}^{T}AX$ ne voit que la partie symétrique $\frac{1}{2}(A + {A}^{T})$ de $A$, dans la décomposition $\mathcal{S}_{n} \oplus \mathcal{A}_{n}$ de la proposition 7. Cette remarque reviendra au chapitre 19.