Exercice 6

1. Le coefficient diagonal d'indice $(j, j)$ de ${A}^{T}A$ vaut $\sum_{i = 1}^{n} a_{ij}a_{ij}$. $$\boxed{\operatorname{tr}({A}^{T}A) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{p} a_{ij}^{2}}$$

2. Si ${A}^{T}A = 0$, sa trace est nulle ; c'est une somme de carrés de réels, donc chacun est nul et $A = 0$.

3. Le résultat tombe en défaut sur $\mathbb{C}$. La matrice symétrique $$A = \begin{pmatrix} 1 & \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & -1 \end{pmatrix} \quad \text{vérifie} \quad {A}^{T}A = A^{2} = \begin{pmatrix} 1 - 1 & \mathrm{i} - \mathrm{i} \\ \mathrm{i} - \mathrm{i} & -1 + 1 \end{pmatrix} = 0,$$ alors que $A \neq 0$.

Piège. L'argument repose sur le fait qu'une somme de carrés de réels nuls n'est nulle que si chaque terme l'est. Dans $\mathbb{C}$, on a $1^{2} + \mathrm{i}^{2} = 0$ ; c'est pourquoi le chapitre 19 remplacera ${A}^{T}$ par la transposée conjuguée lorsqu'il travaillera sur $\mathbb{C}$.