Exercice 10

1. Par la proposition 4, $N^{k} = \sum_{i = 1}^{d - k} E_{i, i + k}$ pour $0 \leqslant k \leqslant d - 1$ : c'est la matrice dont la $k$-ième sur-diagonale est formée de $1$. En particulier $N^{k} = 0$ pour $k \geqslant d$. La somme $\sum_{k = 0}^{d - 1} N^{k}$ a donc des $1$ sur la diagonale et sur toutes les sur-diagonales : c'est $A$.

2. La somme télescopique donne $(I_{d} - N)A = \sum_{k = 0}^{d - 1}(N^{k} - N^{k + 1}) = I_{d} - N^{d} = I_{d}$. Par le théorème 3, une inverse à gauche est une inverse. $$\boxed{A^{-1} = I_{d} - N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ & & & 1 \end{pmatrix}}$$

3. On écrit $A^{n} = \sum_{k = 0}^{d - 1} c_{k}(n)N^{k}$. Pour $n = 2$, $A^{2} = \sum_{k} (k + 1)N^{k}$, car le coefficient de $N^{k}$ dans $\big(\sum N^{j}\big)^{2}$ compte les couples $(j, j')$ de somme $k$. Plus généralement, $A^{n + 1} = A^{n}A$ donne $c_{k}(n + 1) = \sum_{j = 0}^{k} c_{j}(n)$. On montre par récurrence que $c_{k}(n) = \binom{n + k - 1}{k}$ : c'est vrai pour $n = 1$, et la formule de sommation $\sum_{j = 0}^{k}\binom{n + j - 1}{j} = \binom{n + k}{k}$, qui se démontre par récurrence sur $k$ avec la relation de Pascal (chapitre 3), assure l'hérédité. $$\boxed{A^{n} = \sum_{k = 0}^{d - 1}\binom{n + k - 1}{k}N^{k} \qquad (n \geqslant 1)}$$ Pour $d = 4$, on retrouve les sur-diagonales $1, 2, 3, 4$ de $A^{2}$ et $1, 3, 6, 10$ de $A^{3}$.