Exercice 11

1. On a $U^{2} = (J - I_{4})^{2} = J^{2} - 2J + I_{4}$, et $J^{2} = 4J$, car chaque coefficient de $J^{2}$ est une somme de quatre produits égaux à $1$. Donc $U^{2} = 2J + I_{4} = 2U + 3I_{4}$. $$\boxed{U^{2} = 2U + 3I_{4}, \qquad \alpha = 2, \quad \beta = 3}$$

2. On pose $\alpha_{0} = 1$, $\beta_{0} = 0$. Si $U^{k} = \alpha_{k}I_{4} + \beta_{k}U$, alors $U^{k + 1} = \alpha_{k}U + \beta_{k}(2U + 3I_{4})$, d'où $$\boxed{\alpha_{k + 1} = 3\beta_{k}, \qquad \beta_{k + 1} = \alpha_{k} + 2\beta_{k}}$$

3. En substituant, $\beta_{k + 2} = \alpha_{k + 1} + 2\beta_{k + 1} = 2\beta_{k + 1} + 3\beta_{k}$. L'équation caractéristique $r^{2} - 2r - 3 = 0$ a pour racines $3$ et $-1$ (chapitre 7), et les conditions $\beta_{0} = 0$, $\beta_{1} = 1$ fixent les constantes ; puis $\alpha_{k} = 3\beta_{k - 1}$ pour $k \geqslant 1$, formule qui convient aussi pour $k = 0$. $$\boxed{\beta_{k} = \frac{3^{k} - (-1)^{k}}{4}, \qquad \alpha_{k} = \frac{3^{k} + 3(-1)^{k}}{4}}$$

4. La relation $U^{2} - 2U = 3I_{4}$ s'écrit $U \cdot \frac{1}{3}(U - 2I_{4}) = I_{4}$. $$\boxed{U^{-1} = \frac{1}{3}(U - 2I_{4}) = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}}$$ On peut remarquer que la formule de la question 3, prise en $k = -1$, donne $\alpha_{-1} = -\frac{2}{3}$ et $\beta_{-1} = \frac{1}{3}$ : c'est exactement $U^{-1}$.