Exercice 12

1. Le calcul donne $A^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = 2I_{3} - A$. Donc $A(A + I_{3}) = 2I_{3}$, et $A \cdot \frac{1}{2}(A + I_{3}) = I_{3}$. $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{2}(A + I_{3}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

2. On trouve $B^{3} - B = 4I_{3}$, soit $B \cdot \frac{1}{4}(B^{2} - I_{3}) = I_{3}$. $$\boxed{B^{-1} = \frac{1}{4}(B^{2} - I_{3}) = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}}$$

3. On trouve $C^{2} - 3C + 2I_{3} = 0$, soit $C(3I_{3} - C) = 2I_{3}$. $$\boxed{C^{-1} = \frac{1}{2}(3I_{3} - C) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

4. On pose $u_{0} = 0$, $v_{0} = 1$. Si $C^{n} = u_{n}C + v_{n}I_{3}$, alors $C^{n + 1} = u_{n}(3C - 2I_{3}) + v_{n}C$, d'où $u_{n + 1} = 3u_{n} + v_{n}$ et $v_{n + 1} = -2u_{n}$. Ainsi $u_{n + 2} = 3u_{n + 1} - 2u_{n}$, d'équation caractéristique $r^{2} - 3r + 2 = 0$, de racines $1$ et $2$ ; avec $u_{0} = 0$ et $u_{1} = 1$, on obtient $u_{n} = 2^{n} - 1$, puis $v_{n} = -2u_{n - 1} = 2 - 2^{n}$. $$\boxed{C^{n} = (2^{n} - 1)C + (2 - 2^{n})I_{3}}$$ Pour $n = 4$, on trouve $15C - 14I_{3}$, ce que confirme le calcul direct de $C^{4}$.

À retenir. Une relation polynomiale $C^{2} = 3C - 2I_{3}$ ramène toute puissance de $C$ à une combinaison de $C$ et $I_{3}$ ; les coefficients obéissent à une suite récurrente linéaire, dont l'équation caractéristique reproduit la relation.