Exercice 13

1. Soit $A^{s} = 0$ et $B^{t} = 0$. Comme $A$ et $B$ commutent, $(AB)^{s} = A^{s}B^{s} = 0$, et la formule du binôme s'applique : $$(A + B)^{s + t - 1} = \sum_{k = 0}^{s + t - 1}\binom{s + t - 1}{k}A^{k}B^{s + t - 1 - k}.$$ Dans chaque terme, ou bien $k \geqslant s$ et $A^{k} = 0$, ou bien $k \leqslant s - 1$ et $s + t - 1 - k \geqslant t$, donc $B^{s + t - 1 - k} = 0$. La somme est nulle.

2. Les matrices $A = E_{12}$ et $B = E_{21}$ de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})$ sont nilpotentes, mais $AB = E_{11}$ vérifie $(AB)^{k} = E_{11} \neq 0$, et $(A + B)^{2} = E_{11} + E_{22} = I_{2}$ : ni le produit ni la somme ne sont nilpotents.

3. La somme télescopique donne $(I_{n} - A)(I_{n} + A + \cdots + A^{s - 1}) = I_{n} - A^{s} = I_{n}$. $$\boxed{(I_{n} - A)^{-1} = \sum_{k = 0}^{s - 1} A^{k}}$$ On reconnaît la somme géométrique $1 + x + \cdots + x^{s - 1} = \frac{1 - x^{s}}{1 - x}$ ; ici, le terme $x^{s}$ disparaît, et la série géométrique « s'arrête d'elle-même ». L'exercice 10 en est un cas particulier.