Exercice 14

1. Le calcul par blocs, en regardant les lignes et colonnes $1$ et $3$ d'une part et l'indice $2$ d'autre part, donne $$\boxed{M(a, b)M(a', b') = M(aa' - bb', \ ab' + ba')}$$

2. Si $(a, b) \neq (0, 0)$, la question 1 donne $M(a, b)M(a', b') = M(1, 0) = I_{3}$ avec $$a' = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \qquad b' = \frac{-b}{a^{2} + b^{2}}.$$ Si $(a, b) = (0, 0)$, la première colonne de $M(0, 0)$ est nulle, et $M(0, 0)$ n'est pas inversible. $$\boxed{M(a, b) \in \mathrm{GL}_{3}(\mathbb{R}) \iff (a, b) \neq (0, 0), \qquad M(a, b)^{-1} = M\Big(\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \frac{-b}{a^{2} + b^{2}}\Big)}$$

3. Le produit de la question 1 reproduit $(a + \mathrm{i} b)(a' + \mathrm{i} b') = (aa' - bb') + \mathrm{i}(ab' + ba')$, et l'inverse reproduit $\frac{1}{a + \mathrm{i} b} = \frac{a - \mathrm{i} b}{a^{2} + b^{2}}$. L'application $a + \mathrm{i} b \mapsto M(a, b)$ est donc un morphisme injectif du groupe $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ dans $(\mathrm{GL}_{3}(\mathbb{R}), \times)$. Géométriquement, $M(a, b)$ agit dans le plan des première et troisième coordonnées comme la similitude $z \mapsto (a + \mathrm{i} b)z$ du chapitre 4, et laisse fixe le deuxième axe.

Piège. Ce n'est pas un morphisme d'anneaux : $M(a, b) + M(a', b') = M(a + a', b + b') + E_{22}$, à cause du coefficient central égal à $1$. Seule la structure multiplicative est transportée.