Exercice 15

1. On a $M(a, b, c, d) = aI_{4} + bI + cJ' + dK$, et l'application $(a, b, c, d) \mapsto M(a, b, c, d)$ est linéaire et injective, puisque la première colonne de $M(a, b, c, d)$ est $(a, b, c, d)$. Son image $\mathbb{H}$ est donc un sous-espace vectoriel. $$\boxed{\mathbb{H} = \mathrm{Vect}(I_{4}, I, J', K), \qquad \dim \mathbb{H} = 4}$$

2. Le calcul donne $$\boxed{I^{2} = J'^{2} = K^{2} = -I_{4}, \qquad IJ' = K = -J'I, \qquad J'K = I = -KJ', \qquad KI = J' = -IK}$$ Par bilinéarité, le produit de deux éléments de $\mathbb{H}$ est combinaison des produits ci-dessus et de $I_{4}$, donc appartient à $\mathbb{H}$ ; comme $I_{4} \in \mathbb{H}$ et que $\mathbb{H}$ est stable par différence, c'est un sous-anneau de $\mathcal{M}_{4}(\mathbb{K})$. Il n'est pas commutatif, puisque $IJ' = K \neq -K = J'I$.

3. Le calcul donne ${M}^{T}M = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})I_{4}$. Si $M \neq 0$, le réel $N = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ est non nul et $$\boxed{M^{-1} = \frac{1}{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}\,{M}^{T} = \frac{1}{N}M(a, -b, -c, -d) \in \mathbb{H}}$$

4. Soit $X = bI + cJ' + dK$ avec $b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$. En développant, les termes croisés se compensent deux à deux, puisque $IJ' + J'I = 0$, et de même pour les autres paires : $$X^{2} = b^{2}I^{2} + c^{2}J'^{2} + d^{2}K^{2} = -(b^{2} + c^{2} + d^{2})I_{4} = -I_{4}.$$ Il y a ainsi une infinité de solutions, une pour chaque point de la sphère unité de $\mathbb{R}^{3}$.

À retenir. Dans un corps, le polynôme $X^{2} + 1$ a au plus deux racines (chapitre 13). La démonstration utilise la factorisation $P = (X - \alpha)Q$ et le fait que l'évaluation est un morphisme, ce qui exige la commutativité. L'anneau $\mathbb{H}$ des quaternions de Hamilton vérifie tous les axiomes d'un corps sauf la commutativité ; on ne l'appelle donc pas un corps, et le résultat du chapitre 13 n'y vaut plus.