Exercice 16

1. Le coefficient d'indice $(i, j)$ de ${U}^{T}U$ est $\sum_{k = 1}^{n} u_{ki}u_{kj}$, où $u_{ki} = 1$ si $k \leqslant i$ et $0$ sinon. Le produit $u_{ki}u_{kj}$ vaut $1$ exactement lorsque $k \leqslant \min(i, j)$ ; la somme vaut donc $\min(i, j)$. $$\boxed{A = {U}^{T}U}$$

2. D'après l'exercice 10, $U$ est inversible d'inverse $I_{n} - N$, avec $N = \sum_{i = 1}^{n - 1} E_{i, i + 1}$. Par la proposition 8, $A$ est inversible, et $$A^{-1} = U^{-1}({U}^{T})^{-1} = (I_{n} - N)(I_{n} - {N}^{T}) = I_{n} - N - {N}^{T} + N{N}^{T}.$$ Or $N{N}^{T} = \sum_{i, j} E_{i, i + 1}E_{j + 1, j} = \sum_{i = 1}^{n - 1} E_{ii}$, par la proposition 4. $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & & & \\ -1 & 2 & -1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$ Le dernier coefficient diagonal vaut $1$, et non $2$, car $N{N}^{T}$ n'a que $n - 1$ coefficients diagonaux non nuls.

3. Pour $n = 3$, on vérifie $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ À retenir. Écrire une matrice symétrique comme produit ${U}^{T}U$ d'une matrice triangulaire par sa transposée ramène son inversion à celle d'une matrice triangulaire, beaucoup plus simple.