Exercice 17

On note $U$ la colonne dont tous les coefficients valent $1$ : une matrice $A$ à coefficients positifs ou nuls appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $AU = U$.

1. Si $A$, $B \in \mathcal{D}$, les coefficients de $AB$ sont des sommes de produits de réels positifs, donc positifs, et $ABU = AU = U$.

2. Une matrice de permutation $P$ a des coefficients positifs et une somme égale à $1$ sur chaque ligne : $P \in \mathcal{D}$. Ses colonnes sont des vecteurs $e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}$ deux à deux distincts de la base canonique ; le coefficient $(i, j)$ de ${P}^{T}P$ est la somme des produits terme à terme de la $i$-ième et de la $j$-ième colonne, qui vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon. Ainsi ${P}^{T}P = I_{n}$ et $P^{-1} = {P}^{T}$, qui est encore une matrice de permutation, donc appartient à $\mathcal{D}$.

3. Soit $A \in \mathcal{D}$ inversible d'inverse $B \in \mathcal{D}$. Pour $i \neq k$, le coefficient d'indice $(i, k)$ de $AB = I_{n}$ s'écrit $\sum_{j} a_{ij}b_{jk} = 0$ : une somme de termes positifs nulle, donc $a_{ij}b_{jk} = 0$ pour tout $j$. Soit $j$ tel que $a_{ij} > 0$ ; alors $b_{jk} = 0$ pour tout $k \neq i$, et la ligne $j$ de $B$, de somme $1$, est égale à ${e_{i}}^{T}$.

Si la ligne $i$ de $A$ contenait deux coefficients non nuls, d'indices $j \neq j'$, les lignes $j$ et $j'$ de $B$ seraient toutes deux égales à ${e_{i}}^{T}$, et $B$ ne serait pas inversible (théorème 3, ses lignes étant liées). Chaque ligne de $A$ contient donc un seul coefficient non nul, égal à $1$ puisque la somme de la ligne vaut $1$. Enfin, deux lignes de $A$ ne peuvent avoir leur $1$ dans la même colonne, sinon elles seraient égales ; les $n$ lignes occupent donc $n$ colonnes distinctes, et chaque colonne contient exactement un $1$. $$\boxed{\{A \in \mathcal{D} \cap \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \mid A^{-1} \in \mathcal{D}\} = \{\text{matrices de permutation}\}}$$ Piège. Une matrice de $\mathcal{D}$ peut être inversible sans que son inverse soit dans $\mathcal{D}$ : pour $A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, l'inverse $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ a des sommes de lignes égales à $1$, mais des coefficients négatifs.