Exercice 18

1. Les images des vecteurs de la base canonique sont $f(e_{1}) = (1, 0, 0)$, $f(e_{2}) = (0, 1, 1)$ et $f(e_{3}) = (-1, 0, 0)$ ; ce sont les colonnes de $A$. $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

2. Le calcul donne $$A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{3} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{4} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ On conjecture la formule ci-dessous. Elle est vraie pour $n = 1$, et si elle l'est au rang $n$, le produit $A^{n}A$ a pour deuxième colonne $(-(n - 1) - 1, 1, 1) = (-n, 1, 1)$, les autres colonnes restant inchangées. $$\boxed{A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & -(n - 1) & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad (n \geqslant 1)}$$

3. La matrice de $f^{n}$ est $A^{n}$ (théorème 2), d'où $$\boxed{f^{n}(x, y, z) = \big(x - (n - 1)y - z, \ y, \ y\big) \qquad (n \geqslant 1)}$$