Exercice 19

La linéarité de chacune des trois applications découle de celle de l'évaluation et de la dérivation.

(i) Les images de $1$, $X$, $X^{2}$, $X^{3}$ sont $(1, 0)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$ et $(-1, 6)$. Les deux lignes de la matrice ne sont pas proportionnelles, donc $\mathrm{rg} u = 2 = \dim \mathbb{K}^{2}$ : l'application $u$ est surjective, mais non injective, puisque $\dim \mathbb{K}_{3}[X] = 4 > 2$. $$\boxed{\mathrm{Mat}(u) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}, \quad u \text{ surjective, non injective}}$$

(ii) On a $v(X^{k}) = kX^{k}$. Les constantes sont dans le noyau, et $1$ n'est pas dans l'image : $v$ n'est ni injective ni surjective. $$\boxed{\mathrm{Mat}(v) = \mathrm{diag}(0, 1, 2, \dots, n)}$$

(iii) On a $w(X^{k}) = 2X^{k} + kX^{k - 1}(X - 1) = (k + 2)X^{k} - kX^{k - 1}$. La matrice est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux $2, 3, 4, 5$, tous non nuls : elle est inversible (proposition 12), et $w$ est un automorphisme. $$\boxed{\mathrm{Mat}(w) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad w \text{ bijective}}$$