Exercice 20

1. La matrice $A$ est triangulaire à diagonale non nulle, donc inversible (proposition 12). On résout $AX = Y$ en remontant : $z = c$, $y = b - 2c$, $x = a - b + 2c$. $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

2. On a $\Delta(1) = 1$, $\Delta(X) = 1 + X$ et $\Delta(X^{2}) = 2X + X^{2}$ : la matrice de $\Delta$ dans la base canonique est exactement $A$.

3. La matrice de $\Delta$ est inversible, donc $\Delta$ est un automorphisme (théorème 3). Les coordonnées de la solution sont $A^{-1}(1, 1, 2) = (4, -3, 2)$. $$\boxed{\Delta(P) = 1 + X + 2X^{2} \iff P = 4 - 3X + 2X^{2}}$$ On vérifie : $P + P' = 4 - 3X + 2X^{2} - 3 + 4X = 1 + X + 2X^{2}$.