Exercice 21

1. On aurait $3 = \mathrm{rg} I_{3} = \mathrm{rg}(AB) \leqslant \mathrm{rg} A \leqslant 2$, ce qui est impossible. $$\boxed{\text{il n'existe pas de } B \text{ telle que } AB = I_{3}}$$

2. On écrit $C = \begin{pmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ c_{4} & c_{5} & c_{6} \end{pmatrix}$. L'égalité $CA = I_{2}$ donne $c_{2} + c_{3} = 1$, $c_{1} + c_{3} = 0$, $c_{5} + c_{6} = 0$ et $c_{4} + c_{6} = 1$. En prenant $c_{3} = s$ et $c_{6} = t$ comme paramètres : $$\boxed{CA = I_{2} \iff C = \begin{pmatrix} -s & 1 - s & s \\ 1 - t & -t & t \end{pmatrix}, \quad (s, t) \in \mathbb{R}^{2}}$$ Piège. Le théorème 3, qui fait d'une inverse d'un côté une inverse des deux côtés, ne vaut que pour les matrices carrées. Ici, $A$ a une infinité d'inverses à gauche et aucune inverse à droite.