Exercice 22

1. L'application $u \mapsto (u_{0}, u_{1})$ est un isomorphisme de $F$ sur $\mathbb{R}^{2}$, puisqu'une suite de $F$ est déterminée par ses deux premiers termes, que l'on peut choisir librement. On note $a$ et $b$ les suites de $F$ de premiers termes $(1, 0)$ et $(0, 1)$. $$\boxed{\mathcal{B} = (a, b), \qquad a = (1, 0, 1, 1, 2, 3, \dots), \quad b = (0, 1, 1, 2, 3, 5, \dots)}$$

2. L'application $T$ est linéaire, et si $u \in F$, la suite $v = T(u)$ vérifie $$v_{n + 2} = u_{n + 3} = u_{n + 2} + u_{n + 1} = v_{n + 1} + v_{n},$$ donc $T(u) \in F$.

3. La suite $T(a)$ a pour premiers termes $(a_{1}, a_{2}) = (0, 1)$, donc $T(a) = b$ ; la suite $T(b)$ a pour premiers termes $(1, 1)$, donc $T(b) = a + b$. $$\boxed{\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(T) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$ Cette matrice est inversible, car $0 \times 1 - 1 \times 1 = -1 \neq 0$ (proposition 9), d'inverse $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Par le théorème 3, $T$ est un automorphisme de $F$ : on peut « remonter » une suite de Fibonacci, en posant $u_{-1} = u_{1} - u_{0}$.