Exercice 23

1. Si $\sum_{k} \lambda_{k}f_{k} = 0$, alors, en multipliant par $\mathrm{e}^{-\alpha x}$, le polynôme $\sum_{k} \lambda_{k}X^{k}$ s'annule sur tout $\mathbb{R}$, donc il est nul et tous les $\lambda_{k}$ sont nuls. La famille $(f_{0}, \dots, f_{n})$ est libre et engendre $E$. $$\boxed{\dim E = n + 1}$$

2. On a $f_{k}' = kf_{k - 1} + \alpha f_{k}$, avec la convention $f_{-1} = 0$. Par linéarité, $D(E) \subset E$, et $$\boxed{\mathrm{Mat}(D) = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & & & \\ & \alpha & 2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \alpha & n \\ & & & & \alpha \end{pmatrix}}$$

3. La matrice est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux tous égaux à $\alpha$. Elle est inversible si et seulement si $\alpha \neq 0$ (proposition 12), et le théorème 3 conclut. Pour $\alpha = 0$, on retrouve d'ailleurs que les constantes ont une dérivée nulle.

4. Avec $\alpha = 1$ et $n = 2$, la matrice de $D$ est celle de l'exercice 20, dont on connaît l'inverse. Une primitive de $f_{2}$ est $D^{-1}(f_{2})$, de coordonnées $A^{-1}(0, 0, 1) = (2, -2, 1)$. $$\boxed{\int x^{2}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = (x^{2} - 2x + 2)\mathrm{e}^{x} + C}$$ On vérifie en dérivant : $(2x - 2)\mathrm{e}^{x} + (x^{2} - 2x + 2)\mathrm{e}^{x} = x^{2}\mathrm{e}^{x}$.

À retenir. Inverser la matrice de la dérivation sur un espace stable, c'est trouver une primitive. Les deux intégrations par parties du chapitre 6 sont ici remplacées par la résolution d'un système triangulaire.