Exercice 24

1. L'application $f$ est linéaire, et $f(X^{k}) = k(k - 1)X^{k} + 2kX^{k} = k(k + 1)X^{k}$ : elle envoie $\mathbb{K}_{3}[X]$ dans lui-même. $$\boxed{\mathrm{Mat}(f) = \mathrm{diag}(0, 2, 6, 12), \qquad \mathrm{Ker}\, f = \mathbb{K}_{0}[X], \qquad \operatorname{Im} f = \mathrm{Vect}(X, X^{2}, X^{3})}$$

2. L'application $g$ est linéaire. Les termes de degré $3$ se compensent : $$g(1) = -1 - 2X, \qquad g(X) = -1 - X - X^{2}, \qquad g(X^{2}) = 2X^{3} - 2X - 2X^{3} - X^{2} = -2X - X^{2}.$$ Donc $g$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}_{2}[X]$, de matrice $$G = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$ L'échelonnement $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2L_{1}$ donne la ligne $(0, 1, -2)$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ donne $(0, 0, -3)$ : trois pivots, donc $\mathrm{rg} G = 3$ (théorème 8). $$\boxed{g \text{ est un automorphisme de } \mathbb{K}_{2}[X]}$$