Exercice 25

1. Par la proposition 4, $AE_{11} = aE_{11} + cE_{21}$, $AE_{21} = bE_{11} + dE_{21}$, $AE_{12} = aE_{12} + cE_{22}$ et $AE_{22} = bE_{12} + dE_{22}$. $$\boxed{\mathrm{Mat}(L_{A}) = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}}$$

2. On ordonne la base colonne par colonne : $(E_{11}, \dots, E_{n1}, E_{12}, \dots, E_{n2}, \dots, E_{1n}, \dots, E_{nn})$. Comme la $j$-ième colonne de $AM$ est $A$ fois la $j$-ième colonne de $M$, la matrice de $L_{A}$ est diagonale par blocs, avec $n$ blocs égaux à $A$. L'image de $L_{A}$ est formée des matrices dont chaque colonne est dans $\operatorname{Im} A$, et ce sous-espace est isomorphe à $(\operatorname{Im} A)^{n}$. $$\boxed{\mathrm{rg} L_{A} = n\,\mathrm{rg} A}$$

3. Dans une base de $E$, l'endomorphisme $v \mapsto u \circ v$ correspond à $M \mapsto AM$, avec $A = \mathrm{Mat}(u)$, par l'isomorphisme du théorème 2. Son rang est donc $n\,\mathrm{rg} u$, où $n = \dim E$.