Exercice 26

1. La formule du binôme donne $\tau_{a}(X^{j}) = (X + a)^{j} = \sum_{i = 0}^{j}\binom{j}{i}a^{j - i}X^{i}$. $$\boxed{A_{a} = \Big(\binom{j}{i}a^{j - i}\Big)_{0 \leqslant i, j \leqslant n}, \text{ triangulaire supérieure}}$$ avec la convention $\binom{j}{i} = 0$ pour $i > j$.

2. On a $\tau_{a}\big(\tau_{b}(P)\big) = \tau_{a}\big(P(X + b)\big) = P(X + a + b)$, donc $\tau_{a} \circ \tau_{b} = \tau_{a + b}$, et $A_{a}A_{b} = A_{a + b}$ (théorème 2). Comme $A_{0} = I_{n + 1}$, on a $A_{a}A_{-a} = I_{n + 1}$. $$\boxed{A_{a}^{-1} = A_{-a}, \qquad A_{1}^{k} = A_{k} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$

3. Pour $n = 3$, on obtient $$A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{1}^{-1} = A_{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Le coefficient d'indice $(i, j)$ du produit $A_{1}A_{-1}$ exprime l'identité $$\boxed{\sum_{k = i}^{j}(-1)^{j - k}\binom{k}{i}\binom{j}{k} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}}$$ c'est une formule d'inversion des coefficients binomiaux, obtenue sans aucun calcul de sommes.