Exercice 27

1. L'application $\varphi$ est linéaire. Si $\varphi(P) = 0$, le polynôme $P$, de degré au plus $n$, a $n + 1$ racines distinctes, donc il est nul (chapitre 13) : $\varphi$ est injective. Comme $\dim \mathbb{K}_{n}[X] = \dim \mathbb{K}^{n + 1} = n + 1$, c'est un isomorphisme.

2. Pour $P = \sum_{j} a_{j}X^{j}$, la $i$-ième coordonnée de $\varphi(P)$ est $\sum_{j} x_{i}^{j}a_{j}$ : la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques est $V$. Elle représente un isomorphisme, elle est donc inversible (théorème 2).

3. La matrice $V^{-1}$ est celle de $\varphi^{-1}$. Sa $i$-ième colonne est formée des coordonnées du polynôme $\varphi^{-1}(e_{i})$, c'est-à-dire de l'unique polynôme de degré au plus $n$ qui vaut $1$ en $x_{i}$ et $0$ en les autres $x_{k}$. $$\boxed{\text{la } i\text{-ième colonne de } V^{-1} \text{ contient les coefficients du polynôme de Lagrange } L_{i}}$$ À retenir. L'interpolation de Lagrange du chapitre 13 n'est autre que l'inversion de la matrice de Vandermonde. Le chapitre 17 calculera le déterminant de cette matrice.