Exercice 28

1. Supposons $\sum_{k = 0}^{n - 1}\lambda_{k}f^{k}(x) = 0$, et que les $\lambda_{k}$ ne soient pas tous nuls ; soit $m$ le plus petit indice tel que $\lambda_{m} \neq 0$. En appliquant $f^{n - 1 - m}$, tous les termes d'indice $k > m$ deviennent $f^{n - 1 - m + k}(x) = 0$, car $n - 1 - m + k \geqslant n$, et il reste $\lambda_{m}f^{n - 1}(x) = 0$, ce qui contredit $f^{n - 1}(x) \neq 0$. La famille est libre, de cardinal $n = \dim E$ : c'est une base.

2. L'image de chaque vecteur de $\mathcal{B}$ est le suivant, et l'image du dernier est $f^{n}(x) = 0$. $$\boxed{\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 0 & & & \\ 1 & 0 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 0 \end{pmatrix} = \sum_{k = 1}^{n - 1} E_{k + 1, k}, \qquad \mathrm{rg} f = n - 1}$$

3. Deux tels endomorphismes ont la même matrice ci-dessus, chacun dans une base convenable. Par le théorème 4, leurs matrices dans une base quelconque sont semblables à cette matrice, donc semblables entre elles.