Exercice 43

1. Si $M = X{Y}^{T}$ avec $X$, $Y$ non nulles, la $j$-ième colonne de $M$ est $y_{j}X$ : toutes les colonnes sont proportionnelles à $X$, et l'une au moins est non nulle, donc $\mathrm{rg} M = 1$. Réciproquement, si $\mathrm{rg} M = 1$, l'image de $M$ est une droite $\mathbb{K} X$, et chaque colonne s'écrit $y_{j}X$ ; la colonne $Y = (y_{j})$ n'est pas nulle, puisque $M \neq 0$, et $M = X{Y}^{T}$.

2. Le produit ${Y}^{T}X$ est un scalaire $s$, et $\operatorname{tr}(M) = \operatorname{tr}(X{Y}^{T}) = \operatorname{tr}({Y}^{T}X) = s$ (proposition 14). Par associativité, $$M^{2} = X({Y}^{T}X){Y}^{T} = s\,X{Y}^{T}, \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{M^{2} = \operatorname{tr}(M)\,M}$$

3. Si $t = \operatorname{tr} M \neq 0$, la matrice $\frac{1}{t}M$ est un projecteur de rang $1$ ; par l'exercice 40, elle est semblable à $E_{11}$, et $M$ est semblable à $tE_{11}$. Si $\operatorname{tr} M = 0$, alors $M^{2} = 0$. On reprend la méthode de l'exercice 35 : on choisit $v_{1}$ tel que $v_{2} = Mv_{1} \neq 0$ ; le vecteur $v_{2}$ appartient au noyau, de dimension $n - 1$, et l'on complète $v_{2}$ en une base $(v_{2}, \dots, v_{n})$ de ce noyau. La famille $(v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base, puisque $v_{1} \notin \mathrm{Ker}\, M$, et la matrice de $M$ y vaut $E_{21}$, elle-même semblable à $E_{12}$ (exercice 37). $$\boxed{\mathrm{rg} M = 1 \implies M \sim \operatorname{tr}(M)E_{11} \text{ si } \operatorname{tr} M \neq 0, \qquad M \sim E_{12} \text{ si } \operatorname{tr} M = 0}$$ À retenir. Une matrice de rang $1$ est entièrement décrite, à similitude près, par un seul nombre : sa trace.