ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 16 — Matrices · Changements de bases, équivalence et similitude

Exercice 42

Démonstration

On suppose qu'il existe $A$ , $B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ et deux réels $x \leqslant y$ tels que $AB = \begin{pmatrix} 25 & 11 \\ 11 & 5 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad BA = \begin{pmatrix} x & 14 \\ 14 & y \end{pmatrix}.$

1. Montrer que $x + y = 30$ .

2. En calculant de deux façons $\operatorname{tr}(ABAB)$ , montrer que $x^{2} + y^{2} = 500$ .

3. En déduire $x$ et $y$ .

Corrigé

1. Par la proposition 14, $\operatorname{tr}(BA) = \operatorname{tr}(AB)$ , soit $x + y = 25 + 5 = 30$ .

2. D'une part, $\operatorname{tr}(ABAB) = \operatorname{tr}\big((AB)^{2}\big) = 25^{2} + 11^{2} + 11^{2} + 5^{2} = 892$ . D'autre part, la proposition 14 appliquée à $A$ et $BAB$ donne $\operatorname{tr}(ABAB) = \operatorname{tr}(BABA) = \operatorname{tr}\big((BA)^{2}\big) = x^{2} + 2 \times 14^{2} + y^{2}$ . Donc $x^{2} + y^{2} = 892 - 392 = 500$ .

3. On en déduit $2xy = (x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 400$ : $x$ et $y$ sont les racines de $t^{2} - 30t + 200 = (t - 10)(t - 20).$

$\boxed{x = 10, \qquad y = 20}$ À retenir. Les matrices $AB$ et $BA$ ne sont pas égales en général, mais elles ont la même trace, ainsi que leurs carrés. Pour des matrices d'ordre $2$ , cela suffit ici à déterminer les coefficients manquants.

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Théorème du rang Trace d'une matrice, d'un endomorphisme

Thèmes

changements de bases, trace

Notions

matrice de passage, trace