Exercice 49

1. La méthode de Gauss-Jordan donne $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}}$$

2. Le système s'écrit $MX = (m, 1, 2m)$, donc $X = M^{-1}(m, 1, 2m)$ : c'est un système de Cramer (théorème 9). $$\boxed{(x, y, z) = (5m - 1, \ 1 - 2m, \ 4m - 1)}$$ On vérifie : $x - z = m$, $-2x + 3y + 4z = -10m + 2 + 3 - 6m + 16m - 4 = 1$, et $y + z = 2m$.