Exercice 50

1. Les deuxième et troisième lignes $L_{2}$ et $L_{3}$ ne sont pas proportionnelles, par exemple à cause des coefficients des colonnes $2$ et $3$ : le rang vaut au moins $2$. Il vaut exactement $2$ si et seulement si $L_{1} \in \mathrm{Vect}(L_{2}, L_{3})$. On cherche $L_{1} = \alpha L_{2} + \beta L_{3}$ : la deuxième colonne donne $2 = 4\beta$, la troisième $-1 = \alpha - \beta$, d'où $\beta = \frac{1}{2}$ et $\alpha = -\frac{1}{2}$ ; les deux autres colonnes imposent alors $a = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}$ et $b = 2 + 1$. $$\boxed{\mathrm{rg} A = 2 \iff (a, b) = (1, 3)}$$

2. On échange $L_{1}$ et $L_{2}$, puis on effectue $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2L_{1}$ et $L_{4} \leftarrow L_{4} - 4L_{1}$, ce qui donne les lignes $(0, -6, a - 6, -1)$ et $(0, -9, -13, -8)$. Avec la ligne $(0, 1, 1, 1)$ comme deuxième pivot, $L_{3} \leftarrow L_{3} + 6L_{2}$ et $L_{4} \leftarrow L_{4} + 9L_{2}$ donnent $(0, 0, a, 5)$ et $(0, 0, -4, 1)$. On prend $(0, 0, -4, 1)$ comme troisième pivot, et la dernière ligne devient $\big(0, 0, 0, 5 + \frac{a}{4}\big)$. $$\boxed{\mathrm{rg} C = 4 \text{ si } a \neq -20, \qquad \mathrm{rg} C = 3 \text{ si } a = -20}$$