Exercice 51

Première matrice. On note $L_{i}$ la $i$-ième ligne. Pour $1 \leqslant i \leqslant n - 1$, la différence $L_{i + 1} - L_{i}$ vaut $1$ dans les colonnes $j \leqslant i$ et $0$ ailleurs, puisque $\max(i + 1, j) - \max(i, j)$ vaut $1$ si $j \leqslant i$ et $0$ si $j \geqslant i + 1$. Ces $n - 1$ différences sont échelonnées, et engendrent $\mathrm{Vect}(e_{1}, \dots, e_{n - 1})$. La ligne $L_{1} = (1, 2, \dots, n)$ a une dernière coordonnée non nulle, donc n'appartient pas à ce sous-espace. Les opérations élémentaires conservant le rang (proposition 17) : $$\boxed{\mathrm{rg}\big(\max(i, j)\big) = n}$$

Seconde matrice. La formule $\sin(i + j) = \sin i\cos j + \cos i\sin j$ montre que la $j$-ième colonne vaut $\cos j \cdot S + \sin j \cdot C$, avec $S = (\sin i)_{i}$ et $C = (\cos i)_{i}$. Le rang vaut donc au plus $2$. Les deux premières colonnes sont libres : la matrice $\begin{pmatrix} \cos 1 & \cos 2 \\ \sin 1 & \sin 2 \end{pmatrix}$ de leurs coordonnées sur $(S, C)$ vérifie $\cos 1\sin 2 - \cos 2\sin 1 = \sin 1 \neq 0$, et $(S, C)$ est libre, puisque $\sin 1\cos 2 - \sin 2\cos 1 = -\sin 1 \neq 0$. $$\boxed{\mathrm{rg}\big(\sin(i + j)\big) = 2 \qquad (n \geqslant 2)}$$ À retenir. Une matrice dont le coefficient s'écrit $\sum_{k = 1}^{q} f_{k}(i)g_{k}(j)$ est somme de $q$ matrices de rang au plus $1$, donc de rang au plus $q$.