ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 16 — Matrices · Opérations élémentaires et systèmes linéaires

Exercice 52

Démonstration

Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ à diagonale strictement dominante, c'est-à-dire telle que, pour tout $i$ , $|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|.$

1. Soit $X \in \mathrm{Ker}\, A$ non nul, et $i$ un indice tel que $|x_{i}| = \max_{k}|x_{k}|$ . En écrivant la $i$ -ième équation de $AX = 0$ , aboutir à une contradiction.

2. En déduire que $A$ est inversible.

3. Application : montrer que, pour tout réel $t$ tel que $|t| < \frac{1}{2}$ , la matrice $I_{n} + t\big(N + {N}^{T}\big)$ est inversible, où $N = E_{12} + E_{23} + \cdots + E_{n - 1, n}$ .

Corrigé

1. La $i$ -ième équation de $AX = 0$ donne $a_{ii}x_{i} = -\sum_{j \neq i} a_{ij}x_{j}$ , d'où, par l'inégalité triangulaire et le choix de $i$ , $|a_{ii}|\,|x_{i}| \leqslant \sum_{j \neq i} |a_{ij}|\,|x_{j}| \leqslant \Big(\sum_{j \neq i} |a_{ij}|\Big)|x_{i}| < |a_{ii}|\,|x_{i}|,$ la dernière inégalité étant stricte car $|x_{i}| > 0$ , puisque $X \neq 0$ . C'est une contradiction.

2. Le noyau de $A$ est donc réduit à $\{0\}$ , et $A$ est inversible (théorème 3). $\boxed{A \text{ à diagonale strictement dominante} \implies A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}$

3. La matrice $I_{n} + t(N + {N}^{T})$ a des $1$ sur la diagonale, des $t$ sur la sur-diagonale et la sous-diagonale, et des $0$ ailleurs. Sur chaque ligne, la somme des modules des coefficients non diagonaux vaut au plus $2|t| < 1$ . Elle est à diagonale strictement dominante, donc inversible.

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Dans l'édifice

Théorème du rang Matrices d'une application linéaire

Thèmes

opérations élémentaires et systèmes, matrices inversibles, matrices diagonales

Notions

rang d'une matrice, matrice inversible, groupe linéaire, matrice diagonale