Exercice 53

1. La matrice $AB$ est de rang $2$. Comme $\mathrm{rg}(AB) \leqslant \min(\mathrm{rg} A, \mathrm{rg} B)$ et que $\mathrm{rg} A \leqslant 2$, $\mathrm{rg} B \leqslant 2$ (ce sont des matrices à deux colonnes, resp. deux lignes) : $$\boxed{\mathrm{rg} AB = \mathrm{rg} A = \mathrm{rg} B = 2}$$

2. On lit $\mathrm{Ker}\,(AB) = \mathbb{R} e_{1}$ et $\operatorname{Im}(AB) = \mathrm{Vect}(e_{2}, e_{3})$. On a $\mathrm{Ker}\, B \subset \mathrm{Ker}\,(AB)$ ; par le théorème du rang (chapitre 15), $\dim\mathrm{Ker}\, B = 3 - 2 = 1$, donc les deux noyaux sont égaux. De même, $\operatorname{Im}(AB) \subset \operatorname{Im} A$, et les deux sont de dimension $2$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, B = \mathbb{R} e_{1}, \qquad \operatorname{Im} A = \mathrm{Vect}(e_{2}, e_{3})}$$

3. La matrice $AB$ est diagonale à coefficients $0$ ou $1$, donc $(AB)^{2} = AB$, soit $A(BA - I_{2})B = 0$. Comme $\mathrm{rg} B = 2$, l'application de $\mathbb{R}^{3}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ associée à $B$ est surjective : tout $Y \in \mathbb{R}^{2}$ s'écrit $BX$, et $A(BA - I_{2})Y = 0$. Comme $\mathrm{rg} A = 2$ est le nombre de colonnes de $A$, celle-ci est injective, donc $(BA - I_{2})Y = 0$ pour tout $Y$. $$\boxed{BA = I_{2}}$$ À retenir. Une matrice injective se simplifie à gauche, une matrice surjective à droite. C'est ce qui remplace, pour des matrices rectangulaires, la simplification par une matrice inversible.