Exercice 54

1. Faux. Les matrices $E_{11}$ et $E_{22}$ sont non nulles, et leur produit est nul (proposition 4).

2. Faux. Pour $A = E_{11}$ et $B = E_{12} + E_{21}$, symétriques, le produit $AB = E_{12}$ ne l'est pas. Par l'exercice 7, le produit de deux matrices symétriques est symétrique si et seulement si elles commutent.

3. Vrai. On a $n = \mathrm{rg} I_{n} = \mathrm{rg}(AB) \leqslant \mathrm{rg} A \leqslant p$.

4. Faux. Les matrices $I_{2}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ont toutes deux le rang $2$ et la trace $2$. Mais la seule matrice semblable à $I_{2}$ est $P^{-1}I_{2}P = I_{2}$.

5. Vrai. Si $A^{s} = 0$, l'exercice 13 appliqué à $-A$ donne $(I_{n} + A)^{-1} = \sum_{k = 0}^{s - 1}(-1)^{k}A^{k}$.

6. Vrai. On a $\operatorname{Im}(A + B) \subset \operatorname{Im} A + \operatorname{Im} B$, et la dimension d'une somme est au plus la somme des dimensions (chapitre 15).

7. Vrai. C'est l'exercice 6 : $\operatorname{tr}({A}^{T}A)$ est la somme des carrés des coefficients.

8. Vrai. Si $B = P^{-1}AP$, alors $B^{2} = P^{-1}APP^{-1}AP = P^{-1}A^{2}P$.

9. Faux. Les colonnes $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ et $(1, 1, 0)$ sont deux à deux non colinéaires, mais la troisième est la somme des deux premières : la matrice est de rang $2$.

10. Vrai. Si $A$ est inversible et $A^{2} = A$, on multiplie par $A^{-1}$ : $A = I_{n}$.

À retenir. Les affirmations 1, 2 et 4 sont fausses parce que $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ n'est ni intègre, ni commutatif, et que le rang et la trace ne suffisent pas à classer les matrices à similitude près. L'affirmation 9 rappelle qu'une famille de vecteurs deux à deux non colinéaires n'est pas forcément libre.