Exercice 55

1. Si $f = \beta \circ \alpha$, alors $\operatorname{Im} f = \beta\big(\alpha(E)\big) \subset \operatorname{Im}\beta$, donc $\mathrm{rg} f \leqslant \mathrm{rg}\beta \leqslant \dim V$.

2. On prend $V = \operatorname{Im} f$, $\alpha : x \mapsto f(x)$, vue comme application de $E$ dans $\operatorname{Im} f$, et $\beta$ l'injection canonique de $\operatorname{Im} f$ dans $F$. Alors $f = \beta \circ \alpha$ et $\dim V = \mathrm{rg} f$. $$\boxed{\min\{\dim V \mid f \text{ se factorise à travers } V\} = \mathrm{rg} f}$$

3. Par le théorème 5, $A = QJ_{r}P^{-1}$, et la matrice $J_{r} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ se factorise en $$J_{r} = \begin{pmatrix} I_{r} \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_{r} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} I_{r} \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K}), \quad \begin{pmatrix} I_{r} & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{r,p}(\mathbb{K}).$$ On pose $B = Q\begin{pmatrix} I_{r} \\ 0 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} I_{r} & 0 \end{pmatrix}P^{-1}$. Si l'on avait $A = BC$ avec $B \in \mathcal{M}_{n,s}(\mathbb{K})$ et $s < r$, on aurait $r = \mathrm{rg} A \leqslant \mathrm{rg} B \leqslant s$, ce qui est absurde. $$\boxed{A = BC, \quad B \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K}), \ C \in \mathcal{M}_{r,p}(\mathbb{K}), \quad r = \mathrm{rg} A \text{ minimal}}$$ Pour $r = 1$, on retrouve l'écriture $A = X{Y}^{T}$ de l'exercice 43.

À retenir. Le rang est la dimension du plus petit « goulot » par lequel l'information doit passer : c'est ainsi qu'on compresse une grande matrice de petit rang, en ne stockant que $B$ et $C$.