Exercice 56

1. En prenant la trace, $\operatorname{tr} X + \operatorname{tr}(X)\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B$, soit $\operatorname{tr}(X)(1 + \operatorname{tr} A) = \operatorname{tr} B$. Si $\operatorname{tr} A \neq -1$, on en tire $\operatorname{tr} X$, puis $X = B - \operatorname{tr}(X)A$. Réciproquement, la matrice obtenue convient : sa trace est $\operatorname{tr} B - \frac{\operatorname{tr} B\,\operatorname{tr} A}{1 + \operatorname{tr} A} = \frac{\operatorname{tr} B}{1 + \operatorname{tr} A}$. $$\boxed{\operatorname{tr} A \neq -1 : \quad X = B - \frac{\operatorname{tr} B}{1 + \operatorname{tr} A}\,A \text{ est l'unique solution}}$$

2. Si $\operatorname{tr} A = -1$, l'égalité des traces donne $0 = \operatorname{tr} B$ : c'est une condition nécessaire. Si $\operatorname{tr} B = 0$, toute solution s'écrit $X = B - \lambda A$, avec $\lambda = \operatorname{tr} X$. Réciproquement, pour tout $\lambda$, la matrice $X = B - \lambda A$ a pour trace $0 + \lambda$, et $X + \lambda A = B$. $$\boxed{\operatorname{tr} A = -1 : \quad \text{solutions} = \begin{cases} \varnothing & \text{si } \operatorname{tr} B \neq 0 \\ \{B - \lambda A \mid \lambda \in \mathbb{K}\} & \text{si } \operatorname{tr} B = 0 \end{cases}}$$

3. L'application $\Phi$ est linéaire. Si $\operatorname{tr} A \neq -1$, la question 1 dit que tout $B$ a un unique antécédent : $\Phi$ est bijectif. Si $\operatorname{tr} A = -1$, alors $\Phi(A) = A - A = 0$ et $A \neq 0$ ; toute $X \in \mathrm{Ker}\,\Phi$ vérifie $X = -\operatorname{tr}(X)A$, donc $\mathrm{Ker}\,\Phi = \mathbb{K} A$. Comme $\operatorname{tr}\Phi(X) = \operatorname{tr}(X)(1 + \operatorname{tr} A) = 0$, l'image est contenue dans l'hyperplan $\mathcal{H}$ des matrices de trace nulle. $$\boxed{\operatorname{tr} A = -1 : \quad \mathrm{Ker}\,\Phi = \mathbb{K} A, \qquad \operatorname{Im}\Phi = \{M \mid \operatorname{tr} M = 0\}}$$ Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}\Phi = n^{2} - 1 = \dim\mathcal{H}$, d'où l'égalité de l'image avec $\mathcal{H}$, ce que confirme la question 2.

À retenir. On retrouve la structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire (théorème 9) : vide, ou solution particulière plus noyau. Ici, le noyau est la droite $\mathbb{K} A$.