Exercice 57

On pose $P = {V}^{T}U^{-1}$, inversible comme produit de matrices inversibles (proposition 8). Alors $PA = {V}^{T}U^{-1}UJ_{r}V = {V}^{T}J_{r}V$, et, par la proposition 5, $${(PA)}^{T} = {V}^{T}\,{J_{r}}^{T}\,V = {V}^{T}J_{r}V = PA,$$ puisque la matrice carrée $J_{r}$ est symétrique. $$\boxed{P = {V}^{T}U^{-1} \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}) \quad \text{et} \quad PA = {V}^{T}J_{r}V \text{ est symétrique}}$$ À retenir. La forme réduite $J_{r}$ permet de démontrer pour toute matrice ce qui est évident pour $J_{r}$ : ici, être symétrique. Le passage de $A$ à $J_{r}$ se fait au prix de deux matrices inversibles, qu'on « recolle » ensuite.