Exercice 58

1. Une matrice inversible n'a pas de ligne nulle : chaque ligne contient au moins un $1$, d'où au moins $p$ coefficients égaux à $1$. La matrice $I_{p}$ atteint ce minimum.

2. Deux lignes égales rendraient la matrice non inversible, puisque ses lignes seraient liées : au plus une ligne est formée uniquement de $1$. Les $p - 1$ autres contiennent au plus $p - 1$ coefficients égaux à $1$ chacune. $$\text{nombre de } 1 \leqslant p + (p - 1)^{2} = p^{2} - p + 1.$$

3. La matrice $M$ décrite a pour première ligne $(1, \dots, 1)$ et, pour $i \geqslant 2$, une $i$-ième ligne égale à la première moins ${e_{i}}^{T}$. Les opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ pour $i \geqslant 2$ remplacent ces lignes par $-{e_{i}}^{T}$, puis $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{2} + \cdots + L_{p}$ remplace la première par ${e_{1}}^{T}$. On obtient une matrice inversible ; comme les opérations élémentaires conservent le rang (proposition 17), $M$ est inversible. Elle contient $p^{2} - (p - 1)$ coefficients égaux à $1$. $$\boxed{\min = p, \qquad \max = p^{2} - p + 1}$$ Une recherche exhaustive par ordinateur confirme, pour $p = 3$, que le maximum vaut $7$.