Exercice 59

1. On vérifie que $AP = PD$ en calculant les images des colonnes de $P$ : $A(1, 1, 1) = (1, 1, 1)$, $A(-1, 1, 0) = -\frac{1}{2}(-1, 1, 0)$ et $A(-1, 0, 1) = -\frac{1}{2}(-1, 0, 1)$. La méthode de Gauss-Jordan donne $P^{-1}$, et $A^{n} = PD^{n}P^{-1}$. $$\boxed{P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \mathrm{diag}\Big(1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\Big), \qquad A^{n} = P\,\mathrm{diag}\Big(1, \Big(-\frac{1}{2}\Big)^{n}, \Big(-\frac{1}{2}\Big)^{n}\Big)P^{-1}}$$

2. Par récurrence immédiate, $X_{n + 1} = AX_{n}$ donne $X_{n} = A^{n}X_{0}$.

3. Quand $n \to +\infty$, $\big(-\frac{1}{2}\big)^{n} \to 0$, donc chaque coefficient de $A^{n}$ tend vers le coefficient correspondant de $P\,\mathrm{diag}(1, 0, 0)P^{-1}$. Cette matrice est le produit de la première colonne $(1, 1, 1)$ de $P$ par la première ligne $\frac{1}{3}(1, 1, 1)$ de $P^{-1}$ : c'est $\frac{1}{3}J$. $$\boxed{\lim u_{n} = \lim v_{n} = \lim w_{n} = \frac{u_{0} + v_{0} + w_{0}}{3}}$$ Interprétation. En additionnant les trois relations, on voit que la somme $u_{n} + v_{n} + w_{n}$ est constante. À chaque étape, chacun remplace sa valeur par la moyenne de celles des deux autres : les écarts sont divisés par $-2$, et les trois valeurs convergent vers la moyenne initiale. C'est un modèle de consensus.