Exercice 48

1. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - mL_{1}$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$, donnent la matrice échelonnée $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 0 & m - 1 & 1 - m \\ 0 & 0 & (1 - m)(2 + m) \end{pmatrix}.$$ Si $m = 1$, toutes les lignes sont égales et le rang vaut $1$. Sinon, la matrice est inversible si et seulement si le troisième pivot est non nul. $$\boxed{\text{inversible} \iff m \notin \{1, -2\}}$$ Pour $m = -2$, on voit d'ailleurs que la somme des trois lignes est nulle.

2. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2L_{1}$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$, donnent les pivots $1$, $1$, $1 + 2t$. La méthode de Gauss-Jordan donne ensuite l'inverse. $$\boxed{A_{t} \text{ inversible} \iff t \neq -\frac{1}{2}, \qquad A_{t}^{-1} = \frac{1}{2t + 1}\begin{pmatrix} 1 & t & -t \\ -2 & 1 & 2t \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$