Exercice 47

On applique les mêmes opérations sur les lignes à $A$ et à $I_{3}$, jusqu'à transformer $A$ en $I_{3}$ ; la matrice obtenue à droite est alors $A^{-1}$, puisque le produit des matrices d'opérations élémentaires utilisées vaut $A^{-1}$ (proposition 16). Pour $A$, les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$, $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2L_{1}$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ font apparaître les pivots $1$, $1$, $-4$, et la remontée conduit à $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}}$$ Pour $B$, on échange d'abord $L_{1}$ et $L_{2}$, le premier coefficient de $L_{1}$ étant nul : $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$ Pour $C$, l'échelonnement fait apparaître une ligne nulle à la troisième étape : $C$ est de rang $2$, et ses colonnes vérifient $C_{1} - 2C_{2} + C_{3} = 0$. $$\boxed{C \text{ non inversible}, \quad \mathrm{rg} C = 2, \quad \mathrm{Ker}\, C = \mathbb{K}(1, -2, 1)}$$ Pour $D$, on prend comme premier pivot le coefficient $-1$ de la troisième ligne, pour éviter les divisions par $\mathrm{i}$ : $$\boxed{D^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{3\mathrm{i}}{4} & \frac{\mathrm{i}}{2} \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$ Chaque inverse a été contrôlé par le calcul du produit avec la matrice de départ.

Piège. L'erreur la plus répandue dans la méthode de Gauss-Jordan est de mélanger opérations sur les lignes et opérations sur les colonnes : on n'utilise que des opérations sur les lignes, appliquées simultanément aux deux matrices.