Exercice 46

On place les vecteurs en lignes et l'on échelonne : les opérations sur les lignes ne changent pas l'espace engendré (proposition 17), et le rang est le nombre de pivots (théorème 8).

(i) On note $v_{1} = (1, 2, 5, 4)$ et $v_{2} = (2, 4, 10, 7)$. Alors $v_{2} - 2v_{1} = (0, 0, 0, -1)$ : deux pivots, la famille est libre, de rang $2$, et n'engendre pas $\mathbb{R}^{4}$. Les lignes $v_{1}$, $(0, 0, 0, -1)$, $e_{2}$, $e_{3}$ forment, après permutation, une matrice échelonnée à quatre pivots. $$\boxed{\mathrm{rg} = 2, \quad \text{libre} ; \quad (v_{1}, v_{2}, e_{2}, e_{3}) \text{ base de } \mathbb{R}^{4}}$$

(ii) Le second vecteur vaut $-5$ fois le premier. $$\boxed{\mathrm{rg} = 1, \quad \text{ni libre ni génératrice}}$$

(iii) La famille est déjà échelonnée, avec trois pivots $1$, $-12$, $2$. $$\boxed{\mathrm{rg} = 3, \quad \text{base de } \mathbb{R}^{3}}$$

(iv) L'échelonnement donne les lignes $(3, 1, -4, 6)$, $(0, 2, 16, 6)$ et $(0, 0, 0, 6a - 6)$, à un facteur non nul près. Si $a \neq 1$, il y a trois pivots, dans les colonnes $1$, $2$, $4$ : la famille est libre et on la complète par $e_{3}$. Si $a = 1$, le rang vaut $2$, et l'on trouve la relation $2v_{3} = v_{1} - v_{2}$. $$\boxed{\mathrm{rg} = 3 \text{ si } a \neq 1, \quad \mathrm{rg} = 2 \text{ si } a = 1 ; \quad \text{jamais génératrice de } \mathbb{R}^{4}}$$