Exercice 45

1. L'application $\Theta$ est linéaire, car la trace et le produit le sont. Elle est injective par l'exercice 5 : si $\operatorname{tr}(AM) = 0$ pour toute $M$, alors $A = 0$. Comme $\dim \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) = n^{2} = \dim\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), \mathbb{K})$ (chapitre 15), c'est un isomorphisme.

2. Un hyperplan $H$ est le noyau d'une forme linéaire $\varphi$ non nulle (chapitre 15). Par la question 1, $\varphi = \Theta(A)$ pour une matrice $A$, non nulle puisque $\varphi$ ne l'est pas. $$\boxed{H = \{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mid \operatorname{tr}(AM) = 0\}, \qquad A \neq 0}$$

3. Soit $r = \mathrm{rg} A \geqslant 1$. Par le théorème 5, on écrit $A = QJ_{r}P^{-1}$, avec $P$, $Q$ inversibles. Soit $C$ la matrice de permutation associée au cycle $(1\ 2\ \cdots\ n)$, qui envoie $e_{j}$ sur $e_{j + 1}$ et $e_{n}$ sur $e_{1}$. Comme $n \geqslant 2$, elle n'a aucun coefficient diagonal non nul, et $J_{r}C$ non plus, puisque $J_{r}C$ est formée des $r$ premières lignes de $C$ complétées par des lignes nulles. On pose $M = PCQ^{-1}$, inversible. Alors $$\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(QJ_{r}P^{-1}PCQ^{-1}) = \operatorname{tr}(QJ_{r}CQ^{-1}) = \operatorname{tr}(J_{r}C) = 0.$$

$$\boxed{\text{tout hyperplan de } \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \ (n \geqslant 2) \text{ contient une matrice inversible}}$$ Piège. Pour $n = 1$, le résultat est faux : le seul hyperplan de $\mathcal{M}_{1}(\mathbb{K}) = \mathbb{K}$ est $\{0\}$. C'est là qu'intervient l'existence d'une permutation sans point fixe, qui exige $n \geqslant 2$.