Exercice 69

Idée. Les matrices élémentaires $E_{ij}$ suffisent : une forme linéaire est déterminée par ses valeurs sur une base, et des similitudes simples relient ces matrices entre elles.

Les formes $\lambda\,\operatorname{tr}$ conviennent (proposition 14). Réciproquement, soit $\varphi$ une forme invariante par similitude. Pour $i \neq j$, la matrice inversible $D = I_{n} + E_{ii}$ multiplie la $i$-ième ligne par $2$ et $D^{-1}$ multiplie la $i$-ième colonne par $\frac{1}{2}$ ; comme $j \neq i$, on obtient $DE_{ij}D^{-1} = 2E_{ij}$. Donc $\varphi(E_{ij}) = \varphi(2E_{ij}) = 2\varphi(E_{ij})$, et $\varphi(E_{ij}) = 0$. Par l'exercice 37, les matrices $E_{ii}$ sont toutes semblables, donc $\varphi(E_{ii}) = \lambda$ ne dépend pas de $i$. Par linéarité, $$\varphi(M) = \sum_{i, j} m_{ij}\varphi(E_{ij}) = \lambda\sum_{i} m_{ii}, \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\varphi = \lambda\,\operatorname{tr}, \quad \lambda \in \mathbb{K}}$$