Exercice 68

Idée. Le rang d'une somme est au plus la somme des rangs, et au plus $n$. Pour atteindre la borne, on se ramène par équivalence à $A = J_{r}$ et $B = J_{s}$, puis on « tourne » les deux matrices pour que leurs coefficients non nuls ne se gênent pas.

Majoration. Comme $U$ et $V$ sont inversibles, $\mathrm{rg}(UA) = r$ et $\mathrm{rg}(BV) = s$, donc $$\mathrm{rg}(UA + BV) \leqslant \min(n, r + s).$$

Réduction. On écrit $A = Q_{1}J_{r}P_{1}$ et $B = Q_{2}J_{s}P_{2}$, avec des matrices inversibles (théorème 5). Pour $U = Q_{2}U'Q_{1}^{-1}$ et $V = P_{2}^{-1}V'P_{1}$, avec $U'$, $V'$ inversibles, on obtient $$UA + BV = Q_{2}\big(U'J_{r} + J_{s}V'\big)P_{1},$$ de même rang que $U'J_{r} + J_{s}V'$.

Construction. Soit $W = \sum_{i = 1}^{n} E_{i, n + 1 - i}$ la matrice de permutation « anti-diagonale ». La matrice $WJ_{r}$ est formée des $r$ premières colonnes de $W$, soit $\sum_{j = 1}^{r} E_{n + 1 - j, j}$, et $J_{s}W$ des $s$ premières lignes, soit $\sum_{i = 1}^{s} E_{i, n + 1 - i}$. Avec $U' = V' = W$, la somme est une matrice anti-diagonale dont les coefficients non nuls, égaux à $1$ ou $2$, occupent les colonnes $j \leqslant r$ et les colonnes $j \geqslant n + 1 - s$. Il y en a $\min(n, r + s)$, dans des lignes et des colonnes distinctes : c'est le rang de la somme. $$\boxed{\max\big\{\mathrm{rg}(UA + BV) \mid U, V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\big\} = \min(n, r + s)}$$