ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 16 — Matrices · Exercices de synthèse

Exercice 66

Démonstration

Soit $a_{1}$ , …, $a_{13}$ treize entiers compris entre $1$ et $40$ . On veut montrer qu'il existe des entiers relatifs $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{13}$ , non tous nuls, tels que $a_{1}^{\alpha_{1}} a_{2}^{\alpha_{2}} \cdots a_{13}^{\alpha_{13}} = 1.$

1. Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs ou égaux à $40$  ? On les note $p_{1}$ , …, $p_{m}$ . Traduire l'égalité cherchée en un système linéaire homogène à coefficients entiers, dont les inconnues sont $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{13}$ , à l'aide des exposants des $p_{i}$ dans la décomposition des $a_{k}$ .

2. Montrer que ce système admet une solution non nulle à coefficients rationnels. On pourra observer que la méthode du pivot de Gauss n'utilise que les quatre opérations.

3. Conclure.

4. Le résultat subsiste-t-il avec douze entiers ?

Les cinq derniers exercices sont des problèmes à traiter en autonomie : l'énoncé fixe le but, et c'est à vous de trouver le chemin.

Corrigé

1. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à $40$ sont $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ , $31$ , $37$ : il y en a $m = 12$ . Chaque $a_{k}$ s'écrit $\prod_{i = 1}^{12} p_{i}^{v_{ik}}$ , avec $v_{ik} \in \mathbb{N}$ (chapitre 12), et $\prod_{k = 1}^{13} a_{k}^{\alpha_{k}} = \prod_{i = 1}^{12} p_{i}^{\sum_{k} v_{ik}\alpha_{k}}.$ En regroupant les exposants positifs d'un côté et les négatifs de l'autre, l'unicité de la décomposition en facteurs premiers montre que ce produit vaut $1$ si et seulement si tous les exposants sont nuls : $\sum_{k = 1}^{13} v_{ik}\alpha_{k} = 0 \qquad (1 \leqslant i \leqslant 12).$

2. Ce système homogène a $12$ équations et $13$ inconnues. La méthode du pivot (théorème 8) le met sous forme échelonnée avec au plus $12$ pivots : il reste au moins une inconnue non principale. Toutes les opérations effectuées sont des additions, soustractions, multiplications et divisions de rationnels, de sorte que les coefficients restent rationnels. En donnant la valeur $1$ à une inconnue non principale et $0$ aux autres, la remontée fournit une solution non nulle à coefficients rationnels.

3. On multiplie cette solution par le produit des dénominateurs : on obtient des entiers $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{13}$ non tous nuls, solutions du système, donc tels que $\prod a_{k}^{\alpha_{k}} = 1$ .

4. Non : pour les douze nombres premiers $a_{k} = p_{k}$ , l'égalité $\prod p_{k}^{\alpha_{k}} = 1$ impose $\alpha_{k} = 0$ pour tout $k$ , par unicité de la décomposition. $\boxed{13 \text{ entiers de } [\![1\,;40]\!] \text{ vérifient toujours une relation } \prod a_{k}^{\alpha_{k}} = 1 \text{ non triviale ; } 12 \text{ ne suffisent pas}}$ À retenir. La décomposition en facteurs premiers transforme les produits en sommes d'exposants, et une question multiplicative devient un système linéaire. Le nombre $13$ est exactement le nombre de premiers jusqu'à $40$ plus un : c'est la dimension qui compte.

Les cinq derniers exercices sont des problèmes en autonomie ; le corrigé commence par l'idée directrice.

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Théorème du rang Lemme d'échange de Steinitz

Thèmes

systèmes linéaires, entiers et parité, lemme fondamental