Exercice 65

1. L'ensemble $\mathcal{H}$ est le noyau de l'application linéaire $\Psi : \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{(n - 2)^{2}}$ qui associe à $M$ la famille des $4m_{ij} - m_{i - 1, j} - m_{i + 1, j} - m_{i, j - 1} - m_{i, j + 1}$, pour $i$, $j \in [\![2\,;n - 1]\!]$. C'est un sous-espace vectoriel, et le théorème du rang donne $$\dim\mathcal{H} = n^{2} - \mathrm{rg}\Psi \geqslant n^{2} - (n - 2)^{2} = 4n - 4.$$

2. Soit $m$ le plus grand coefficient de $M$, et $(i, j)$ un indice tel que $m_{ij} = m$, avec $i$ minimal. Si $(i, j)$ était intérieur, $4m = 4m_{ij}$ serait la somme de quatre voisins tous inférieurs ou égaux à $m$ ; ils seraient donc tous égaux à $m$, en particulier $m_{i - 1, j}$, ce qui contredit la minimalité de $i$. L'indice $(i, j)$ est donc sur le bord.

3. Si $M$ et $M'$ sont harmoniques de même bord, $N = M - M'$ est harmonique, de bord nul. Par la question 2, son plus grand coefficient est atteint sur le bord, donc il vaut $0$ : tous les coefficients de $N$ sont négatifs ou nuls. Appliqué à $-N$, le même argument montre qu'ils sont positifs ou nuls. Ainsi $N = 0$.

4. L'application $\beta : \mathcal{H} \to \mathbb{R}^{4n - 4}$ qui associe à $M$ son bord est linéaire, et injective par la question 3. Donc $\dim\mathcal{H} \leqslant 4n - 4$, et la question 1 donne l'égalité. Une application linéaire injective entre espaces de même dimension est bijective. $$\boxed{\dim\mathcal{H} = 4n - 4, \qquad \text{tout bord prescrit est celui d'une unique matrice harmonique}}$$ Un calcul de rang par ordinateur confirme $\dim\mathcal{H} = 4n - 4$ pour $n = 3, 4, 5, 6$.

À retenir. L'unicité vient de l'analyse (un principe du maximum), l'existence vient de l'algèbre linéaire (un argument de dimension) : on n'a jamais résolu le système. C'est le modèle discret de la température d'équilibre d'une plaque dont on fixe la température au bord.