Exercice 64

1. Pour $n = 1$, une matrice de trace nulle est la matrice nulle, qui convient. Si $A = \lambda I_{n}$, alors $\operatorname{tr} A = n\lambda = 0$, donc $\lambda = 0$ et $A = 0$ convient encore.

2. Si $A$ n'est pas scalaire, l'exercice 61 fournit $x$ tel que $(x, Ax)$ soit libre. On complète en une base $(x, Ax, v_{3}, \dots, v_{n})$. Dans cette base, l'image du premier vecteur est le deuxième : la première colonne de la matrice $M$ de $u_{A}$ est $(0, 1, 0, \dots, 0)$. En particulier $[M]_{11} = 0$, et $M$ a la forme annoncée, avec $C = (1, 0, \dots, 0)$. Par la proposition 14, $\operatorname{tr} A_{1} = \operatorname{tr} M - 0 = \operatorname{tr} A = 0$.

3. Par hypothèse de récurrence, il existe $Q \in \mathrm{GL}_{n - 1}(\mathbb{K})$ telle que $D_{1} = Q^{-1}A_{1}Q$ ait une diagonale nulle. On pose $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}$, inversible d'inverse $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q^{-1} \end{pmatrix}$. Le produit par blocs donne $$R^{-1}MR = \begin{pmatrix} 0 & LQ \\ Q^{-1}C & Q^{-1}A_{1}Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & LQ \\ Q^{-1}C & D_{1} \end{pmatrix},$$ dont la diagonale est nulle. Cette matrice est semblable à $M$, donc à $A$.

4. La réciproque est vraie : une matrice semblable à une matrice de diagonale nulle a la même trace, nulle. $$\boxed{\operatorname{tr} A = 0 \iff A \text{ est semblable à une matrice de diagonale nulle}}$$ Piège. La récurrence porte sur une matrice $A_{1}$ que l'on ne contrôle pas, d'où la nécessité de l'hypothèse « de trace nulle » transmise par la proposition 14. Le cas scalaire doit être traité à part, car l'exercice 61 ne s'y applique pas.