Exercice 63

1. Les sous-espaces $\{0\}$ et $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ conviennent évidemment. Le vecteur $P_{\sigma}U = \sum_{j} e_{\sigma(j)}$ est encore $U$, car $\sigma$ est une bijection, donc $D$ convient. Enfin, $P_{\sigma}X = \sum_{j} x_{j}e_{\sigma(j)}$ a les mêmes coefficients que $X$, dans un autre ordre, donc la même somme : $H$ convient.

2. Les vecteurs $e_{i} - e_{j}$ appartiennent à $H$. Réciproquement, si $X \in H$, alors $$X = \sum_{j} x_{j}e_{j} - \Big(\sum_{j} x_{j}\Big)e_{1} = \sum_{j \geqslant 2} x_{j}(e_{j} - e_{1}).$$

3. Soit $X \in F$, non colinéaire à $U$ : deux de ses coefficients diffèrent, $x_{i} \neq x_{j}$. Soit $\tau$ la transposition qui échange $i$ et $j$. Le vecteur $P_{\tau}X$ s'obtient en échangeant les coefficients d'indices $i$ et $j$, donc $$P_{\tau}X - X = (x_{j} - x_{i})(e_{i} - e_{j}) \in F, \qquad \text{d'où} \qquad e_{i} - e_{j} \in F.$$ Pour $k \neq \ell$ quelconques, on choisit une permutation $\sigma$ telle que $\sigma(i) = k$ et $\sigma(j) = \ell$ : alors $P_{\sigma}(e_{i} - e_{j}) = e_{k} - e_{\ell} \in F$. Par la question 2, $H \subset F$. Comme $H$ est un hyperplan, il ne reste que $F = H$ ou $F = \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$.

4. Si $F \subset D$, alors $F = \{0\}$ ou $F = D$, puisque $D$ est une droite. Ces quatre sous-espaces sont distincts, car $U \notin H$, la somme de ses coefficients valant $n \neq 0$. $$\boxed{\text{les sous-espaces stables par toutes les } P_{\sigma} \text{ sont } \{0\}, \ D, \ H, \ \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}$$ À retenir. Un sous-espace qui contient un vecteur « non symétrique » contient, par permutations et différences, toutes les directions $e_{i} - e_{j}$. Les symétries de la situation réduisent à quatre les possibilités, et la décomposition $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) = D \oplus H$ est la seule qui les respecte.