Exercice 62

1. L'application $A \mapsto A_{0}A$ envoie $G$ dans $G$, puisque $G$ est un groupe, et admet pour réciproque $A \mapsto A_{0}^{-1}A$ : c'est une bijection de $G$. Le changement d'indice $A' = A_{0}A$ donne $$A_{0}B = \frac{1}{m}\sum_{A \in G} A_{0}A = \frac{1}{m}\sum_{A' \in G} A' = B.$$

2. Par la question 1, $B^{2} = \frac{1}{m}\sum_{A_{0} \in G} A_{0}B = \frac{1}{m}\sum_{A_{0} \in G} B = B$.

3. La matrice $B$ est donc celle d'un projecteur. Par l'exercice 40, sa trace est son rang, un entier naturel. Par linéarité de la trace : $$\frac{1}{m}\sum_{A \in G}\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B = \mathrm{rg} B \in \mathbb{N}, \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{m \text{ divise } \sum_{A \in G}\operatorname{tr}(A)}$$ Par exemple, pour $G = \{I_{2}, -I_{2}\}$, la somme des traces vaut $2 - 2 = 0$, divisible par $2$, et $B = 0$.

À retenir. Faire la moyenne sur un groupe fini fabrique un projecteur. Le chapitre 21 retrouvera cette idée de moyenne sur un ensemble fini en probabilités.