Exercice 61

1. Supposons que $(x, Ax)$ soit liée pour tout $x$. Pour tout $x \neq 0$, il existe alors $\lambda_{x}$ tel que $Ax = \lambda_{x}x$. Si $x$ et $y$ sont libres, $A(x + y) = \lambda_{x + y}(x + y) = \lambda_{x}x + \lambda_{y}y$, et la liberté de $(x, y)$ donne $\lambda_{x} = \lambda_{x + y} = \lambda_{y}$. Si $x$ et $y$ sont colinéaires non nuls, $\lambda_{x} = \lambda_{y}$ directement. Ainsi $A = \lambda I_{n}$ est scalaire. Par contraposée, si $A$ n'est pas scalaire, il existe $x$ tel que $(x, Ax)$ soit libre.

2. La matrice nulle convient. Si $A = \lambda I_{n}$ avec $\lambda \neq 0$, les matrices semblables à $A$ sont réduites à $A$, et $[A]_{11} = \lambda \neq 0$. Si $A$ n'est pas scalaire, on choisit $x$ comme à la question 1 et l'on complète $(x, x + Ax)$, qui est libre, en une base $(v_{1}, \dots, v_{n})$ avec $v_{1} = x$ et $v_{2} = x + Ax$. Alors $Av_{1} = v_{2} - v_{1}$, et la matrice $M$ dans cette base vérifie $[M]_{11} = -1$. $$\boxed{\big(\forall M \sim A, \ [M]_{11} = 0\big) \iff A = 0}$$

3. Les matrices scalaires conviennent, puisqu'elles ne sont semblables qu'à elles-mêmes. Si $A$ n'est pas scalaire, on choisit $x$ comme à la question 1 et l'on complète $(Ax, x)$ en une base $(v_{1}, \dots, v_{n})$, avec $v_{1} = Ax$ et $v_{2} = x$. Alors $Av_{2} = v_{1}$, et la matrice dans cette base a un coefficient $[M]_{12} = 1$. $$\boxed{\big(\forall M \sim A, \ [M]_{12} = 0\big) \iff A \text{ est scalaire}}$$ À retenir. Une matrice non scalaire a toujours un vecteur qu'elle « fait tourner » hors de sa droite ; on construit alors une base sur mesure pour placer un coefficient non nul où l'on veut.