Exercice 65

Idée. On factorise $X^{p} + 1$ dans $\mathbb{C}[X]$ et l'on remplace $X$ par $A$ en tenant compte de $B$ : comme $A$ et $B$ commutent, $A^{p} + B^{p}$ est le produit des $A - \omega B$, où $\omega$ parcourt les racines de $\omega^{p} = -1$. Les facteurs associés à deux racines conjuguées ont des déterminants conjugués, et la seule racine réelle possible est $-1$.

Les racines de $X^{p} + 1$ sont les $p$ nombres distincts $\omega_{k} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(2k + 1)\pi/p}$, pour $0 \leqslant k \leqslant p - 1$ (chapitre 4), d'où $$X^{p} + 1 = \prod_{k = 0}^{p - 1}(X - \omega_{k}) = \sum_{j = 0}^{p} (-1)^{j}s_{j}X^{p - j},$$ où $s_{j}$ est la $j$-ième fonction symétrique élémentaire des $\omega_{k}$ (théorème 4 du chapitre 13). Par identification, $s_{0} = 1$, $s_{j} = 0$ pour $1 \leqslant j \leqslant p - 1$, et $(-1)^{p}s_{p} = 1$. Comme $A$ et $B$ commutent, le produit des matrices $A - \omega_{k}B$ se développe comme un produit de polynômes, les puissances de $A$ et de $B$ pouvant être regroupées : $$\prod_{k = 0}^{p - 1}(A - \omega_{k}B) = \sum_{j = 0}^{p} (-1)^{j}s_{j}A^{p - j}B^{j} = A^{p} + B^{p}.$$ Par le théorème 6 (i), $\det(A^{p} + B^{p}) = \prod_{k}\det(A - \omega_{k}B)$. On regroupe les facteurs.

• Si $\omega_{k}$ n'est pas réel, son conjugué $\overline{\omega_{k}}$, qui vérifie aussi $\overline{\omega_{k}}^{p} = -1$, est une autre racine. Le déterminant est une somme de produits des coefficients, et le conjugué d'une somme de produits est la somme des produits des conjugués. Comme $A$ et $B$ sont réelles, la matrice $A - \overline{\omega_{k}}B$ est la conjuguée de $A - \omega_{k}B$, donc $$\det(A - \overline{\omega_{k}}B)\det(A - \omega_{k}B) = \big|\det(A - \omega_{k}B)\big|^{2} \geqslant 0.$$

• Une racine réelle vérifie $\omega^{p} = -1$ : c'est $\omega = -1$, ce qui n'est possible que si $p$ est impair. Le facteur correspondant est $\det(A + B) \geqslant 0$.

Le produit de nombres positifs ou nuls est positif ou nul. $$\boxed{\det(A^{p} + B^{p}) \geqslant 0 \quad \text{pour tout } p \geqslant 1}$$ Pour $p$ pair, l'hypothèse sur $\det(A + B)$ n'a même pas servi ; ainsi, pour $p = 2$, $$\det(A^{2} + B^{2}) = \det(A + \mathrm{i} B)\det(A - \mathrm{i} B) = \big|\det(A + \mathrm{i} B)\big|^{2}.$$

Piège. L'hypothèse de commutation est indispensable. Pour $A = 2E_{11}$ et $B = E_{21} - E_{12}$, qui ne commutent pas, $\det(A + B) = 1$, mais $A^{2} + B^{2} = 4E_{11} - I_{2}$ a pour déterminant $-3$. Sans commutation, $(A - \mathrm{i} B)(A + \mathrm{i} B) = A^{2} + B^{2} + \mathrm{i}(AB - BA)$, et la factorisation est perdue.